ข้อสอบ จำนวนจริง ม.2 คืออะไร ทศนิยมซ้ำ ตรรกยะ อตรรกยะ รากที่สอง รากที่สาม พร้อมโจทย์ฝึก

เรื่องจำนวนจริงเป็นบทที่นักเรียน ม.2 เจอตั้งแต่ต้นปีการศึกษา และเป็นฐานของเนื้อหาอีกหลายบทในชั้นถัดไป หลายคนรู้สึกว่าบทนี้ “ดูง่ายแต่พลาดง่าย” เพราะโจทย์มักวัดความเข้าใจนิยามมากกว่าการคิดเลขยาว ๆ บทความนี้สรุปภาพรวมของ ข้อสอบ จำนวนจริง ม.2 ว่าเนื้อหาครอบคลุมอะไรตามหนังสือเรียนของ สสวท. แนวคำถามที่พบได้บ่อยมีลักษณะแบบไหน พร้อมตารางจำแนกชนิดจำนวนและตัวอย่างโจทย์ที่เขียนขึ้นเพื่อฝึกพร้อมวิธีคิดทีละขั้น

จำนวนจริง ม.2 คืออะไร และอยู่ตรงไหนในหลักสูตร

จำนวนจริงคือจำนวนทั้งหมดที่ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะรวมกัน ในระดับ ม.1 นักเรียนเรียนจำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมมาแล้ว พอขึ้น ม.2 จะขยายภาพให้เห็นว่ายังมีจำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้ เช่น รากที่สองของ 2 หรือค่าพาย ซึ่งทำให้เส้นจำนวนสมบูรณ์ขึ้น

• ในหลักสูตรแกนกลางฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 เนื้อหานี้อยู่ใต้สาระจำนวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค 1.1 โดยแผนการจัดการเรียนรู้ของโรงเรียนอ้างตัวชี้วัด ค 1.1 ม.2/2 ซึ่งมีใจความว่าเข้าใจจำนวนจริงและความสัมพันธ์ของจำนวนจริง และใช้สมบัติของจำนวนจริงในการแก้ปัญหา (ดูตัวอย่างได้จาก แผนการจัดการเรียนรู้หน่วยจำนวนจริงที่เผยแพร่โดยโรงเรียน)
• ใครอยากเห็นภาพตัวชี้วัดทั้งชุดและการแบ่งเป็นระหว่างทางกับปลายทาง อ่านต่อได้ที่ สรุปตัวชี้วัดระหว่างทางและปลายทางวิชาคณิตศาสตร์
• ข้อสอบ จำนวนจริง ม.2 ในโรงเรียนส่วนใหญ่จึงวัดสองด้าน คือ จำแนกและอธิบายชนิดของจำนวนได้ กับหาค่าหรือประมาณค่ารากที่สองและรากที่สามเพื่อนำไปใช้แก้ปัญหา

ขอบเขตบทเรียนตามหนังสือเรียน สสวท.

ใน หน้ารวมวิดีโอหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 1 ของโครงการ Project 14 สสวท. บทที่เกี่ยวข้องคือบท “ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง” ซึ่งอยู่ถัดจากบททฤษฎีบทพีทาโกรัส และแบ่งเป็นช่วงหลักดังนี้

• ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง: ทศนิยมซ้ำ การเขียนเศษส่วนเป็นทศนิยมซ้ำและกลับกัน ความหมายของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ
• รากที่สอง: ความหมาย การหาค่าด้วยการแยกตัวประกอบ และการประมาณค่า
• รากที่สาม: ความหมาย และการหาค่าของจำนวนทั้งบวกและลบ
• การนำความรู้เกี่ยวกับรากที่สองและรากที่สามไปใช้ ซึ่งมี วิดีโอสอนเรื่องการนำรากที่สองและรากที่สามไปใช้ แยกไว้อีกตอน

ฝั่งครูสามารถดู คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 1 ที่ สสวท. เผยแพร่ เพื่อเทียบจุดประสงค์ของแต่ละหัวข้อก่อนออกข้อสอบ ส่วนใครอยากรู้ว่าบทนี้เชื่อมกับตัวชี้วัดอย่างไรในมุมการวิเคราะห์หลักสูตร มี คู่มือวิเคราะห์ตัวชี้วัดระหว่างทางและปลายทางสำหรับครู ให้อ่านประกอบ

ตารางจำแนกชนิดจำนวนที่ต้องแยกให้ออก

หัวใจของ ข้อสอบ จำนวนจริง ม.2 คือการบอกได้ว่าจำนวนที่เห็นเป็นตรรกยะหรืออตรรกยะ ตารางนี้สรุปเกณฑ์ที่ใช้ตัดสินบ่อยที่สุด

ใบความรู้ของ DLTV เรื่อง จำนวนอตรรกยะ หน่วยความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง อธิบายนิยามไว้ในแนวเดียวกัน คือจำนวนตรรกยะเขียนเป็น a/b ได้เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มและ b ไม่เป็นศูนย์ ส่วนจำนวนอตรรกยะเขียนเป็นทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนไม่ได้

แนวคำถามที่มักออกในเรื่องจำนวนจริง

จากโครงเนื้อหาในหนังสือเรียน คำถามในบทนี้มักแบ่งได้เป็นกลุ่มต่อไปนี้

• เขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำ หรือเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ
• เลือกข้อที่เป็นจำนวนอตรรกยะ หรือหาว่าข้อความใดเกี่ยวกับจำนวนจริงถูกหรือผิด
• หารากที่สองที่เป็นบวกและลบ เช่น รากที่สองของ 144 คือ 12 และ -12
• ประมาณค่ารากที่สองว่าอยู่ระหว่างจำนวนเต็มหรือทศนิยมหนึ่งตำแหน่งคู่ใด
• หารากที่สามของจำนวนบวก จำนวนลบ และทศนิยม
• โจทย์ปัญหาที่ใช้รากที่สองกับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรากที่สามกับปริมาตรลูกบาศก์

พื้นฐานการคิดเลขทศนิยมสำคัญมากในบทนี้ ถ้ายังไม่คล่อง ลองย้อนไปทบทวน วิธีบวกทศนิยมทีละขั้นระดับประถม ก่อน จะช่วยให้แปลงทศนิยมซ้ำได้แม่นขึ้น

ตัวอย่างโจทย์ที่เขียนขึ้นเพื่อฝึก พร้อมวิธีคิด

โจทย์ชุดนี้เป็นตัวอย่างที่เขียนขึ้นเพื่อฝึก ไม่ได้คัดลอกจากข้อสอบจริง ใช้เป็นแบบฝึกก่อนทำ ข้อสอบ จำนวนจริง ม.2 ของโรงเรียนได้

• ข้อ 1 เขียน 3/7 ในรูปทศนิยมซ้ำ
  วิธีคิด: หาร 3 ด้วย 7 ไปเรื่อย ๆ จะได้ 0.428571428571… เศษวนกลับมาเป็น 3 อีกครั้งหลังหารครบ 6 หลัก จึงตอบ 0.428571 ซ้ำทั้งชุด 6 หลัก
• ข้อ 2 เขียน 0.363636… ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
  วิธีคิด: ให้ x = 0.3636… คูณ 100 ได้ 100x = 36.3636… นำมาลบกันได้ 99x = 36 ดังนั้น x = 36/99 = 4/11
• ข้อ 3 เขียน 1.2555… (5 ซ้ำ) ให้เป็นเศษส่วน
  วิธีคิด: ให้ x = 1.2555… จะได้ 10x = 12.555… และ 100x = 125.555… ลบกันได้ 90x = 113 ดังนั้น x = 113/90 ตรวจคำตอบด้วยการหาร 113 ÷ 90 = 1.2555… ถูกต้อง
• ข้อ 4 จากจำนวน √49, √50, -3/8, 0.1010010001…, ∛(-27) และ π ข้อใดเป็นจำนวนอตรรกยะ
  วิธีคิด: √49 = 7 และ ∛(-27) = -3 เป็นตรรกยะ ส่วน -3/8 เป็นเศษส่วนจึงเป็นตรรกยะ ที่เหลือคือ √50 (50 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์) 0.1010010001… (ไม่ซ้ำ) และ π เป็นอตรรกยะ รวม 3 จำนวน
• ข้อ 5 √40 มีค่าอยู่ระหว่างทศนิยมหนึ่งตำแหน่งคู่ใด และใกล้ค่าใดมากกว่า
  วิธีคิด: 6² = 36 และ 7² = 49 จึงอยู่ระหว่าง 6 กับ 7 ลองต่อ 6.3² = 39.69 และ 6.4² = 40.96 ดังนั้น √40 อยู่ระหว่าง 6.3 กับ 6.4 และเพราะ 40 – 39.69 = 0.31 น้อยกว่า 40.96 – 40 = 0.96 จึงใกล้ 6.3 มากกว่า (ค่าประมาณประมาณ 6.32)
• ข้อ 6 กล่องรูปลูกบาศก์มีปริมาตร 343 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของกล่อง
  วิธีคิด: ความยาวด้าน = ∛343 = 7 เซนติเมตร เพราะ 7 × 7 × 7 = 343 แต่ละหน้ามีพื้นที่ 7 × 7 = 49 ตารางเซนติเมตร ลูกบาศก์มี 6 หน้า พื้นที่ผิวจึงเท่ากับ 6 × 49 = 294 ตารางเซนติเมตร

จุดพลาดบ่อยที่ทำให้เสียคะแนน

คะแนนที่หายไปใน ข้อสอบ จำนวนจริง ม.2 มักไม่ได้มาจากโจทย์ยาก แต่มาจากความเข้าใจคลาดเคลื่อนเล็ก ๆ ต่อไปนี้

• ลืมว่าจำนวนบวกมีรากที่สองสองค่า ถ้าโจทย์ถาม “รากที่สองของ 25” ต้องตอบทั้ง 5 และ -5 แต่ถ้าเขียน √25 หมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกคือ 5 อย่างเดียว
• คิดว่าจำนวนลบไม่มีรากที่สาม ความจริงคือ ∛(-8) = -2 เพราะ (-2) × (-2) × (-2) = -8
• ตัดสินว่าจำนวนที่มีเครื่องหมายกรณฑ์เป็นอตรรกยะทั้งหมด ทั้งที่ √0.09 = 0.3 และ ∛0.008 = 0.2 เป็นตรรกยะ
• คูณทศนิยมซ้ำด้วยกำลังของ 10 ผิดหลัก ต้องดูว่าชุดซ้ำมีกี่หลัก และเริ่มซ้ำที่ตำแหน่งใด
• ใช้ 22/7 หรือ 3.14 แทน π แล้วสรุปว่า π เป็นตรรกยะ ซึ่งผิด เพราะเป็นเพียงค่าประมาณ

วางแผนทบทวนให้เชื่อมกับบทอื่นของ ม.2

เรื่องจำนวนจริงไม่ได้ยืนอยู่ลำพัง การเตรียม ข้อสอบ จำนวนจริง ม.2 ให้ได้ผลดีควรมองต่อเนื่องกับบทอื่นทั้งก่อนและหลัง

• ย้อนฐานเดิม: จำนวนตรรกยะ เศษส่วน และทศนิยมจากชั้น ม.1 ทบทวนได้จาก สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เทอม 2
• บทข้างเคียง: บททฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้รากที่สองหาความยาวด้านโดยตรง ส่วนบทเรขาคณิตอย่าง ความเท่ากันทุกประการ ม.2 และเกณฑ์ทั้ง 5 แบบ ก็ต้องอาศัยการคำนวณความยาวด้านเช่นกัน
• ภาพรวมทั้งปี: ดู สรุปบทที่ออกสอบคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 2 และ แนวโจทย์สถิติ ม.2 เรื่องค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม เพื่อวางตารางอ่านหนังสือให้ครบทุกบท
• มองไปข้างหน้า: ความคล่องเรื่องจำนวนจริงช่วยตอนแก้ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรใน ม.3 และเป็นพื้นฐานของ แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์

วิธีทบทวนที่ใช้ได้จริงคือทำตารางจำแนกชนิดจำนวนด้วยตัวเองหนึ่งรอบ ท่องกำลังสองของ 1 ถึง 20 และกำลังสามของ 1 ถึง 10 ให้คล่อง แล้วฝึกโจทย์แต่ละกลุ่มอย่างน้อยกลุ่มละ 3 ข้อ ก่อนเริ่มทำ ข้อสอบ จำนวนจริง ม.2 แบบจับเวลา

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

จำนวนจริงกับจำนวนตรรกยะต่างกันอย่างไร?

จำนวนตรรกยะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนจริง จำนวนจริงคือจำนวนตรรกยะรวมกับจำนวนอตรรกยะทั้งหมด

ทศนิยมซ้ำทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะใช่ไหม?

ใช่ ทศนิยมซ้ำทุกจำนวนเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้เสมอ จึงเป็นจำนวนตรรกยะ

√2 คูณ √2 ได้จำนวนอตรรกยะหรือไม่?

ไม่ใช่ ผลคูณเท่ากับ 2 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่าผลคูณของจำนวนอตรรกยะไม่จำเป็นต้องเป็นอตรรกยะเสมอไป

ศูนย์มีรากที่สองกี่ค่า?

ศูนย์มีรากที่สองเพียงค่าเดียวคือ 0 ต่างจากจำนวนบวกที่มีรากที่สองสองค่า

ควรเริ่มอ่านเรื่องจำนวนจริงจากหัวข้อไหน?

เริ่มจากทศนิยมซ้ำและนิยามจำนวนตรรกยะ จากนั้นจึงต่อด้วยจำนวนอตรรกยะ รากที่สอง และรากที่สาม ตามลำดับในหนังสือเรียน

แหล่งอ้างอิง

• สสวท. โครงการสอนออนไลน์ Project 14 หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 1: https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/
• สสวท. Project 14 การนำความรู้เกี่ยวกับรากที่สองและรากที่สามไปใช้: https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book1/math-m2b1-017/
• สสวท. คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 1: https://www.scimath.org/ebook-mathematics/item/10334-2-1-10334
• DLTV ใบความรู้ คณิตศาสตร์ ม.2 เรื่องจำนวนอตรรกยะ: https://dltv.ac.th/utils/files/download/186921
• แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยจำนวนจริง (strisuksa.ac.th): https://strisuksa.ac.th/app/sendplan/uploads/20260609081454_24_plan.pdf